Plage d'ateliers sur le thème 1

jeudi 9 juin 2022 de 11h30 à 13h00 salles 3, 5, 6, 8 et 9

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Atelier A1 : salle 3

Approches plurielles pour analyser, en cycles 3 et 4, une situation dédiée à développer la compétence raisonner

Aurélie CADEAU, Christine CHOQUET et Nadia ZEBICHE

Lors de cette communication, en lien avec le thème 1, nous proposons l’analyse d’une situation ‘’ 3 nombres qui se suivent’’ que nous avons mise en œuvre en cycle 3 et en cycle 4. Cette situation, déjà connue de la recherche (Douaire,1999 ; Hersant, 2010 ; Choquet, 2014), fait l’objet d’une référence explicite dans les programmes de cycle 4 (2016). Nous nous intéressons aux types de raisonnements mobilisés par des élèves de CM2 et de 4ème. Pour cela, nous nous appuyons sur les travaux de Duval (1995), Radford (2014) et Coulange & Fourcade (2020).

Dans la classe de 4ème, nous analysons les caractéristiques de la situation en termes de développement de la pensée algébrique (Radford, 2014) ainsi que les conceptions des élèves à travers l’évolution du statut de la lettre dans leur processus de recherche de preuve. Par ailleurs, nous faisons l’hypothèse que l’identification et les éventuelles articulations des différents registres sémiotiques mobilisés (Duval, 1995) permet de rendre compte d’éléments d’acquisition dans la construction chez les élèves du processus de démonstration (Balacheff, 1982). Dans l’atelier, nous mettrons à l’étude un corpus constitué d’extraits audio, de transcriptions d’extraits de séance ainsi que des travaux d’élèves. Nous proposerons aux participants plusieurs temps d’analyse et d’échanges au regard des références théoriques choisies que nous expliciterons. Enfin, nous présenterons la mise en place d’un dispositif en formation initiale en lien avec cette situation.  

Références

Balacheff, N (1982). Preuve et démonstration au collège. Recherche en didactique des mathématiques, 3 (3). 261-304.

Choquet, C. (2016). Profils de professeurs des écoles proposant des problèmes ouverts en mathématiques. Recherches En Didactique Des Mathématiques, 36(1), 11–47. https://revue-rdm.com/2016/profils-de-professeurs-des-ecoles/

Coulange, L. & Fourcade, A.-C. (2019). L’argumentation dans la résolution de problèmes mathématiques - une étude de cas liée à un rallye au cycle 3. Grand N, 103, 5-40.

Douaire, J. & Hubert, C. (1999). Vrai ? Faux ?... On en débat ! De l'argumentation vers la preuve en mathématiques au cycle 3. ERMEL. Paris : INRP.

Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine : sémiotiques registres et apprentissages intellectuels. Peter Lang Berne, 1995, Suisse Collection : Exploration.

Hersant, M. (2010). Empirisme et rationalité au cycle 3 : vers la preuve en mathématiques. Mémoire complémentaire pour l’HDR.  Nantes Université.

MENESR (2016). Mathématiques. Cycle 4. Nombres et calculs. Utiliser le calcul littéral. https://eduscol.education.fr/280/mathematiques-cycle-4

Radford, L. (2014). The progressive development of early embodied algebraic thinking. Mathematics Education Research Journal, 26, 257-277. Hersant

Toulmin, S. (1958). Les usages de l’argumentation, trad. P. de Brabanter (1993). Paris : PUF.

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 Atelier B1 : salle 5

Quels exercices pour enseigner l’écriture de textes de démonstration au cycle 4 ?

Alexis GAUTREAU

À la lumière de copies d’élèves, nous examinerons en atelier un ensemble d’exercices de niveau cycle 4 : correction ou complétion de textes de démonstration (propriétés ou îlots déductifs manquants), exercices intégrant des conversions entre trois registres visuels de preuves (« deux colonnes » ; déductogramme ; forme discursive) (Duval 1991, Cirillo et Herbst 2011). Ces formats d’exercices, absents des manuels de cycle 4, visent l’instauration d’une progressivité dans l’enseignement de l’écriture de textes de démonstration.

Contrairement aux anciens programmes où la démonstration survenait brusquement en classe de 4e, les programmes de 2016 enjoignent à ménager une continuité dans l’enseignement de la démonstration du cycle 3 au lycée. Dans ce sens, les manuels de cycle 4 proposent quelques étayages dans le but de guider les élèves dans l’élaboration de démonstrations ; nous les discuterons en atelier et les comparerons aux exercices évoqués ci-dessus.

Les exercices que nous présenterons mêlent compréhension de textes et écriture. Pour faire écrire des démonstrations aux élèves sans imposer une rédaction unique et limitante du modus ponens, il nous semble préférable que les élèves fréquentent des textes de démonstration aux formulations variées ; en les comprenant, les élèves étofferont leur horizon d’attente (Hache 2018 ; Sève 2011) et instrumenteront leur rédaction de ce genre de texte.

Les exercices présentés mêlent trois registres visuels de preuve différents ; nous évoquerons alors quelques recherches en didactique qui traitent des registres « déductogrammes » et « deux colonnes » (Anwar et al 2021 ; Cirillo et Herbst 2011), afin de discuter de la place à leur accorder dans l’enseignement, considérant que la rédaction d’une démonstration sous forme discursive demeure l’enjeu d’apprentissage central (Duval 1998).

  Références

Anwar, Lathiful, Angeliki Mali, et Martin J Goedhart. 2021. « The Effect of Proof Format on Reading Comprehension of Geometry Proof: The Case of Indonesian Prospective Mathematics Teachers ». Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education 17 (4): em1952. https://doi.org/10.29333/ejmste/10782.

Cirillo, Michelle, et Patricio G. Herbst. 2011. « Moving toward more authentic proof practices in geometry ». The mathematics educator 21 (2): 11‑33.

Duval, Raymond. 1991. « Structure du raisonnement deductif et apprentissage de la demonstration ». Educational Studies in Mathematics 22 (3): 233‑61. https://doi.org/10.1007/BF00368340.

Duval, Raymond. 1998. « Écriture et compréhension : pourquoi faire écrire des textes de démonstration par les élèves ? » Publications mathématiques et informatique de Rennes, no S4: 79‑98.

Hache, Christophe. 2018. « Lecture et écriture en didactique du français, questions pour la didactique des mathématiques », mars, 12.

Pierre SÈVE. 2011. Savoir lire et savoir lu : sur quels horizons temporels et culturels se déploient les séquences de lecture ? In GOIGOUX R., POLLET MC. Didactique de lecture : de la maternelle à l’université. pp 85-115

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Atelier C1 : salle 6

Le rapport entre distance et longueur : enjeu de vocabulaire ou de raisonnement ? 

Aurélie Chesnais, LIRDEF, Université de Montpellier, aurelie.chesnais@umontpellier.fr ; Véronique Cerclé, Lycée de Pézenas, PFA, Université de Montpellier ; Céline Constantin, LIRDEF, Université de Montpellier ; Nathalie Daval, CLG Simon Veil (Montpellier) ; Aurélien Destribats, CLG des Garrigues (Montpellier) ; Julie Verdier, CLG de Saint-Mathieu-de-Tréviers ; Nazha Lahmouche, CLG Béziers ; Jérémie Lefaucheur, lycée Feuillade (Lunel) ; Sophie Dutaut, lycée Feuillade (Lunel) ; Louise Nyssen, IMAG, Université de Montpellier

Le travail de raisonnement en mathématiques est à la fois porté par un travail sur le langage (notamment verbal) et moteur de l’acculturation aux pratiques langagières mathématiques, en même temps que de la conceptualisation des objets mathématiques.

Nous proposons d’illustrer cette idée dans un atelier qui portera sur le travail langagier dans des raisonnements, de la sixième au lycée et en formation d’enseignants, autour de la notion de distance, dont on sait depuis longtemps qu’elle est porteuse d’enjeux didactiques forts (Chevallard et Joshua, 1982). Nous y défendrons l’idée que le rapport entre distance et longueur pose un problème probablement sous-estimé à de nombreux élèves et dans diverses situations, notamment du fait de la « naturalisation » des pratiques langagières mathématiques chez les experts (Barrier et Durand-Guerrier, 2016). En nous basant sur des données recueillies dans des classes et en formation d’enseignants de mathématiques, nous montrerons que l’articulation entre les notions de longueur et de distance ne se réduit pas à une « question de vocabulaire », mais suppose un réel travail de raisonnement. Nous montrerons enfin que ce travail est porteur d’enjeux d’apprentissages cruciaux sur le raisonnement, sur le langage mathématique, mais aussi sur les objets de la géométrie. 

L’atelier s’organisera autour de l’analyse collective et la discussion de situations, de documents institutionnels et, surtout, de productions d’élèves et d’étudiants professeurs de mathématiques, recueillies lors d’expérimentations menées par les membres du groupe IREM Didactique de l’IREM de Montpellier, ainsi que de quelques apports sur la base des travaux du groupe (Cerclé et al., 2020, 2021).

Références

Barrier, T. et Durand-Guerrier, V. (2016). La quantification au cœur des relations entre langage, raisonnement et apprentissages mathématiques. Actes du colloque CORFEM 2015. https://www.univ-irem.fr/corfem/Actes_2015_02.pdf

Cerclé, V., Chesnais, A. et Nyssen, L. (2020). Le repérage au collège et au lycée : des enjeux d’apprentissage au croisement des cadres numérique, géométrique, algébrique et fonctionnel (première partie), Petit x, 113, pp. 59 à 88. https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/medias/fichier/113x4_1633083537539-pdf

Cerclé, V, Chesnais, A., Destribats, A., Dutaut, S., Gosselin, E., Leberre, J. et Nyssen, L. Le repérage au collège et au lycée : des enjeux d’apprentissage au croisement des cadres numérique, géométrique, algébrique et fonctionnel (deuxième partie), Petit x, 115, 29-63.

Chevallard Y., Johsua M.A. (1982) Un exemple d'analyse de la transposition didactique : la notion de distance, Recherches en didactique des mathématiques, vol 3.2, P. 157-239.

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 Atelier D1 : salle 8

Aborder en formation la place de la démonstration des propriétés géométriques fondamentales

NIKOLSKIPascale et DIDIERGuillaume, Groupe IREM Géométrie (IREM de Paris)

Atelier E1 : salle 9

Le raisonnement par l’absurde à la transition Lycée-Université : que savent faire les élèves et les étudiants ? 

Marie-Line Gardes, IREM de Lyon, Denis Gardes, IREM de Dijon, marie-line.gardes@univ-lyon1.fr, denis.gardes@wanadoo.fr 

Nous proposons de présenter un travail de recherche en cours sur le raisonnement par l’absurde mené par un sous-groupe de la C2i Lycée. A partir de travaux de mathématiciens et philosophes (Gardies, 1991 ; Lombardi, 1997 ; Lombard, 1997), nous avons identifié de multiples intérêts du raisonnement par l’absurde, tant pour son efficacité dans certaines démonstrations que pour son apport dans la compréhension de concepts logiques. Du point de vue didactique, il nous a semblé intéressant de questionner la pertinence ainsi que la place et le rôle du raisonnement par l’absurde, en tant qu’outil de preuve d’une part, et en tant qu’objet d’apprentissage de la logique d’autre part (Bernard et al., 2018).

Cet atelier fait suite à celui de 2019 où nous avions proposé une analyse d’extraits de manuels scolaires sur la place et le rôle attribués au raisonnement par l’absurde. Nous avions mis en évidence plusieurs points de vigilance pour l’enseignement de ce raisonnement en classe (vocabulaire à utiliser, séparation des cas proposition élémentaire, proposition composée, articulation de la définition et des exemples, etc.). Nous avons poursuivi cette recherche avec l’étude des connaissances d’élèves (Terminale S) et d’étudiants (en classe préparatoire et en L1) sur le raisonnement par l’absurde.

Après un rapide rappel des différentes formes du raisonnement par l’absurde et la présentation du questionnaire proposé aux élèves et étudiants, nous inviterons les participants à analyser des extraits de productions d’élèves et étudiants selon quelques critères (connaissance de la définition d’un raisonnement par l’absurde, connaissance d’exemples, mobilisation du raisonnement, etc.). Nous proposerons ensuite quelques activités qui nous semblent pertinentes pour mettre en œuvre des raisonnements par l’absurde au lycée et au début de l’université.

 Bibliographie

Bernard, D., Gardes, D., Gardes, M.L. & Grenier, D. (2018). Le raisonnement par l'absurde - Une étude didactique pour le lycée, Petit x 108, 5-40.

Gardies, J.-L. (1991). Le raisonnement par l’absurde (PUF). Paris.

Lombard, P. (1996). A propos du raisonnement par l’absurde. Bulletin APMEP, 405, 445–455.

Lombardi, H. (1997). Le raisonnement par l’absurde. Repères IREM, 29, 27–42.